제 생각엔 배열에 랜덤하게 직접 이미지를 넣는 방법보다,
(근데 위 방법으로 랜덥하게 이미지를 선택해야 한다는 문제가 발생하네요..)
랜덤하게 1~20까지의 수를 발생시켜서 각각의 수에 해당하는 패를 받게하면 될 것 같은데요..
예를 들면,

procedure TForm1.패돌리기(Sender: TObject);
var
        I, J: Integer;
begin
        Randomize;

        // 랜덤하게 8개의 수들을 고르고,
        for I := 0 to 7 do
                 배열[I] := Random(20);

        // 8개 중에 반복되는 수가 있으면 자기자신을 다시 호출
        for I := 0 to 6 do
        begin
                for J := I + 1 to 7 do
                begin
                        if 배열[I] = 배열[J] then
                                패돌리기(Sender);
                end;
        end;

        // 서로 다르게 나온 수 8개를 순서대로 각 네명에게 2개씩 부여하고
        // 각 번호에 해당하는 이미지를 로드시키면 될 것 같은데요..
end;

procedure TForm1.Player1패받기(Sender: TObject);
begin
        // Player1의 자리에 두개의 Image Component가 있고,
        // 패 그림의 파일명이 XXX0.. XXX19라고 한다면,
        // (물론 프로젝트가 저장된 폴더에 그림 파일도 같이 있어야겠죠..)
        Image1.Picture.LoadFromFile('XXX' + IntToStr(배열[0]));
        // 이렇게 하면 각각의 이미지 컴포넌트에 랜덤하게
        // 패를 돌릴 수 있을 것 같네요..      
end;

이상 허접한 답변였습니다.. 즐코하시길!!!