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unit Unit1;

interface

uses
  Windows, Messages, SysUtils, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs,
  StdCtrls, ComCtrls;

type
  TForm1 = class(TForm)
    Button1: TButton;
    Memo1: TMemo;
    DateTimePicker1: TDateTimePicker;
    procedure Button1Click(Sender: TObject);
  private
    { Private declarations }
  public
    { Public declarations }
  end;

var
  Form1: TForm1;

implementation

{$R *.DFM}

// 월의 마지막일자
function dateEndOfMonth(D: TDateTime): TDateTime;
var
  Year, Month, Day: Word;
begin
  DecodeDate(D, Year, Month, Day);
  if Month = 12 then
  begin
    Inc(Year);
    Month := 1;
  end
  else
    Inc(Month);

  {월의 다음월의 시작일에서 1을 뺀다}
  Result := EncodeDate(Year, Month, 1) - 1;
end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
  i: integer;
  tmpDate: TDate;
begin
  Memo1.Lines.Clear;

  for i := 1 to StrToInt(FormatDateTime('dd',dateEndOfMonth(DateTimePicker1.DateTime))) do
  begin
    tmpDate := StrToDate(FormatDateTime('YYYY-MM',DateTimePicker1.DateTime) + '-' + FormatFloat('00',i));
    //일요일 or 토요일인 경우 제외
    if DayOfWeek(tmpDate) in [1,7] then
      continue;
    Memo1.Lines.Add(FormatDateTime('YYYY-MM-DD',tmpDate));
  end;
end;

end.

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
  ADate: TDateTime;
  days: array[1..7] of string;

begin
  days[1] := '일요일';
  days[2] := '월요일';
  days[3] := '화요일';
  days[4] := '수요일';
  days[5] := '목요일';
  days[6] := '금요일';
  days[7] := '토요일';

  if ((days[DayOfWeek(Date)] <> '토요일') AND (days[DayOfWeek(Date)] <> '일요일') ) Then
  Memo1.Lines.Add(DateToStr(Date) +' ' +days[DayOfWeek(Date)] );

end;

end.

오라클 데이타베이스를 사용하신다면 lastday라는 함수가 있어
해당월의 마지막일자를 구해주니까 loop을 돌리면 되는데
델파이 자체의 마지막일자 구하기 함수 찾기가 쉽지 않네요.